共通の式

断面の種類ごとの式（下記）で J・τ_max・S を求め、次の式で各結果を出します。

$$T=1000\times M$$ $$\Phi =\frac{TL}{GJ}\times \frac{180}{\pi }$$ $$\text{安全率}=\frac{{\tau }_y}{{\tau }_{\max }}$$ $$K_t=\frac{GJ}{L}\times {10}^{-3}$$ $$m=SL\rho \times {10}^{-3}$$

$M$

モーメント荷重（入力）[N·m]

$T$

ねじりモーメント [N·mm]

$L$

長さ（入力）[mm]

$G$

せん断弾性係数（入力）[MPa = N/mm²]

$J$

ねじり定数 [mm⁴]。円・中空円では断面2次極モーメント I_p と同じ

$\Phi$

ねじれ角 [deg]

${\tau }_{\max }$

最大せん断応力 [N/mm²]

${\tau }_y$

せん断降伏応力（入力）[MPa = N/mm²]

$K_t$

ねじり剛性 [N·m/rad]

$S$

材料の断面積 [mm²]

$\rho$

密度（入力）[g/cm³]

$m$

材料質量 [g]

10⁻³ は単位の換算です（ねじり剛性は N·mm → N·m、材料質量は mm³·g/cm³ → g）。

せん断降伏応力 τ_y（材質を選んだときの自動入力）

$${\tau }_y=\frac{{\sigma }_y}{\sqrt{3}}\approx 0.577{\sigma }_y$$

σ_y は材料表の引張降伏応力 [MPa] で、ミーゼスの降伏条件による換算です。欄には 3 桁に丸めて表示しますが、書き換えない限り丸める前の値で安全率を計算します。木材はこの換算が使えないため空欄になります（繊維方向のせん断強さを直接入力してください）。

断面ごとの式

真円（D）

$$J=I_p=\frac{\pi D^4}{32}$$ $${\tau }_{\max }=\frac{T·(D/2)}{I_p}=\frac{16T}{\pi D^3}$$ $$S=\frac{\pi D^2}{4}$$

$D$

直径 [mm]

最大せん断応力は外周の全体に生じます。

中空円（d, D）

条件：$d<D$

$$J=I_p=\frac{\pi (D^4-d^4)}{32}$$ $${\tau }_{\max }=\frac{T·(D/2)}{I_p}$$ $$S=\frac{\pi (D^2-d^2)}{4}$$

$D$

外径 [mm]

$d$

内径 [mm]

楕円（W, H）

$$a=\max (W,H),b=\min (W,H)$$ $$J=\frac{\pi a^3{b}^3}{16(a^2+b^2)}$$ $${\tau }_{\max }=\frac{16T}{\pi a{b}^2}$$ $$S=\frac{\pi WH}{4}$$

$W,H$

楕円の横・縦の全長 [mm]

$a,b$

長径・短径（W と H の大きい方・小さい方）[mm]

最大せん断応力は短軸の端に生じます。

中空楕円（w, W, h, H）

条件：$w<W,h<H,|w/W-h/H|\le 0.01$

$$\alpha =\max (w/W,h/H)$$ $$a=\max (W,H),b=\min (W,H)$$ $$J=\frac{\pi W^3{H}^3(1-{\alpha }^4)}{16(W^2+H^2)}$$ $${\tau }_{\max }=\frac{16T}{\pi a{b}^2(1-{\alpha }^4)}$$ $$S=\frac{\pi (WH-wh)}{4}$$

$W,H$

外側の楕円の横・縦の全長 [mm]

$w,h$

内側（穴）の楕円の横・縦の全長 [mm]

$a,b$

外側の長径・短径（W と H の大きい方・小さい方）[mm]

$\alpha$

内側と外側の寸法比 [−]

内側が外側と相似な中空楕円の式です。w/W と h/H の差が 0.01 以内のずれは、大きい方の比 α で相似とみなします（穴を実際より大きく見る）。このため、ねじれ角は正しい値より大きめに出ます。最大せん断応力はほぼ同じか大きめですが、条件によっては最大 0.5% 程度小さく出ることがあります。

長方形（四角：W, H）

$$a=\max (W,H),b=\min (W,H),r=a/b$$ $$J=k_{1}a{b}^3$$ $${\tau }_{\max }=\frac{k_{2}T}{k_{1}a{b}^2}$$ $$k_1=\frac{1}{3}-\frac{64}{{\pi }^{5}r}\sum _{n=1,3,5,\dots }^{99}\frac{\tanh \left(\frac{n\pi r}{2}\right)}{n^5}$$ $$k_2=1-\frac{8}{{\pi }^2}\sum _{n=1,3,5,\dots }^{99}\frac{1}{n^2\cosh \left(\frac{n\pi r}{2}\right)}$$ $$S=WH$$

$W,H$

幅・高さ [mm]

$a,b$

長辺・短辺 [mm]

$r$

辺の比 a/b [−]

$n$

級数の項（n = 1, 3, 5, …, 99 の奇数）

$k_1,k_2$

係数 [−]

サン・ブナンの厳密解の級数を n = 99 で打ち切った値です（r → ∞ で k₁ → 1/3、k₂ → 1）。最大せん断応力は長辺の中央に生じます。

薄肉閉断面（a, b, A）

条件：$A\le \frac{a^2}{4\pi },b<\frac{4A}{a}$

$$J=\frac{4A^{2}b}{a}$$ $${\tau }_{\max }=\frac{T}{2Ab}$$ $$S=ab$$

$a$

肉厚中心線に沿った周長 [mm]

$b$

肉厚（一定）[mm]

$A$

肉厚中心線で囲まれる面積 [mm²]

肉厚一定とした Bredt の式です（最大せん断応力は周方向に一様）。A ≤ a²/(4π) は周長 a で囲める面積の上限（円）、b < 4A/a は内側に中空部が残るための条件です。

薄肉開断面（下段の図。左から板 1 枚・2 枚・3 枚）

$$l_i=\max (a_i,b_i),t_i=\min (a_i,b_i)$$ $$J=\sum _i{k}_1(l_i/t_i)l_i{t}_i^3$$ $${\tau }_{\max }=\frac{T{t}_{\max }}{J},t_{\max }=\underset{i}{\max }{t}_i$$ $$S=\sum _i{a}_i{b}_i$$

$a_i,b_i$

板 i の長さ・肉厚（入力の a, b または a1, b1 …）[mm]

$l_i,t_i$

a_i と b_i の大きい方・小さい方 [mm]

$k_1$

上の長方形の式の係数（r = l_i/t_i とした値）[−]

$t_{\max }$

最も厚い板の肉厚 [mm]

各板を独立した長方形とみなして足し合わせる近似です（板の接合部や曲がりの影響は考慮しません）。各板の長さ÷肉厚（l_i/t_i）が 10 以上の薄肉形状を想定し、これを下回ると近似誤差が大きくなる場合があります。

入力が数値でない・0 以下のとき、寸法が上の条件を満たさないとき、S や J が正にならないときは、メッセージを出して計算しません。

前提と適用範囲

• 線形弾性・微小変形の範囲で、断面が一様な真っすぐな棒の両端に大きさ M のねじりモーメントだけが作用するものとします（サン・ブナンのねじり）。
• 端部で断面の反り（そり）を拘束する効果、自重、曲げ、軸力、応力集中（段付き・キー溝・穴など）は考慮しません。
• 円・中空円以外の J は断面2次極モーメント I_p とは別の量です。I_p で代用するとねじり剛性を過大に見積もります。
• 物性・M・L が空欄のときは、それを使う結果を表示しません（J は断面寸法だけで計算します）。